Quest-ce quun nombre carré parfait ? Comment reconnaître et exemples détaillés

Un nombre carré parfait est un nombre égal au carré d'un entier. Apprenons les propriétés, la reconnaissance et les calculs des nombres carrés dans l'article ci-dessous pour mieux comprendre ce type de nombre.

Table des matières

• Qu'est-ce qu'un nombre carré parfait ?
  • Comment identifier les nombres carrés
  • Divisibilité des nombres carrés
  • Plus petit nombre carré
  • Plus grand nombre carré
  • Constante identique pour calculer la différence de deux nombres carrés
  • Caractéristiques des nombres carrés
• Nombres carrés
• Exemples de nombres carrés parfaits
• Exercices sur les nombres carrés

Qu'est-ce qu'un nombre carré parfait ?

Un nombre carré parfait est un nombre égal au carré exact d'un entier. Ou, plus simplement, un nombre carré parfait est un nombre naturel dont la racine carrée est également un nombre naturel.

Les entiers comprennent les entiers positifs (1, 2, 3,…), les entiers négatifs (-1, -2, -3,…) et 0. L'ensemble des entiers est noté Z.

Cependant, la racine carrée d'un nombre carré n'a que des valeurs naturelles, c'est-à-dire des entiers positifs.

Par exemple:

Le nombre 4 est un carré parfait car le carré du nombre 2 est 4.

9 est un nombre carré parfait (car 9 est égal au carré de 3).

Comment identifier les nombres carrés

1. Regardez le dernier chiffre : Le dernier chiffre d'un nombre carré parfait est 0, 1, 4, 5, 6, 9. Les nombres qui se terminent par 2, 3, 7, 8 ne sont pas appelés nombres carrés parfaits.

2. Regardez le dernier chiffre : Un nombre carré parfait ne peut avoir qu'une seule des 2 formes : 4n ou 4n + 1, aucun nombre carré parfait n'a la forme 4n + 2 ou 4n + 3 (avec n € N).

Par exemple : Supposons que n = 1, alors le nombre carré est sous la forme 4 x n = 4. Ou n = 2, alors le nombre carré est sous la forme 4 x 2 + 1 = 9.

Il ne peut pas être sous la forme 4 x 2 + 2 = 10 ou 4 x 2 + 3 = 11.

3. Le chiffre des dizaines d'un nombre carré parfait est pair si le dernier chiffre est 1 ou 9.

Par exemple : Le carré numéro 81 (carré de 9).

4. Le chiffre des dizaines d’un nombre carré parfait se terminant par 5 est 2.

Par exemple : Le nombre carré 225 (carré de 15).

5. Si le nombre carré parfait se termine par 4, le chiffre des dizaines est un nombre pair.

Par exemple : Le carré numéro 64 (carré de 8).

6. Si le nombre carré se termine par 6, le chiffre des dizaines est impair.

Par exemple : Le carré numéro 16 (carré de 4).

7. Lorsqu'il est factorisé en nombres premiers, un nombre carré parfait ne contient que des facteurs premiers avec des exposants pairs.

Par exemple : Le nombre carré 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4.

Divisibilité des nombres carrés

Un nombre carré parfait divisible par un nombre premier p sera également divisible par p^2, et vice versa.

• Un nombre carré parfait divisible par 2 est divisible par 2^2 = 4.
• Un nombre carré parfait divisible par 3 est divisible par 3^2 = 9.
• Un nombre carré parfait divisible par 5 est divisible par 5^2 = 25.
• Un nombre carré parfait divisible par 8 (= 2^3) est également divisible par 2^4 = 16 (écrit comme une puissance d'un nombre).
• Le nombre carré 36 ( 6^2 ) est divisible par 2 => 36 est divisible par 4 ( 2^2 )
• Le nombre carré 144 (12^2) est divisible par 3 (144:3=48) => 144 est divisible par 9 (144:9=16)

Plus petit nombre carré

Le plus petit nombre carré parfait dans l'ensemble des nombres carrés parfaits est 0. Dans la plage de nombres de 0 à 100, il y a 10 nombres carrés parfaits inférieurs à 100. Ils incluent les nombres : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Plus grand nombre carré

• Le plus grand nombre carré à 1 chiffre est 9.
• Le plus grand nombre carré à deux chiffres est 81.
• Le plus grand nombre carré à 3 chiffres est 312.
• Le plus grand nombre carré à 4 chiffres est 9801
• Le plus grand nombre carré à 5 chiffres est 99856

Constante identique pour calculer la différence de deux nombres carrés

Par exemple:

Caractéristiques des nombres carrés

• Formule pour calculer la différence de deux nombres carrés : a^2 - b^2 = (ab)(a+b).
• Si un nombre carré est divisible par un nombre premier, alors il sera également divisible par le carré de ce nombre premier.

Par exemple : le nombre carré 18 est divisible par 3, alors il sera également divisible par le carré de 3, qui est 9.

Nombres carrés

Il existe 2 types de nombres carrés :

Exemples de nombres carrés parfaits

Les nombres 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … sont tous des nombres carrés parfaits.

4 = 2² est un nombre carré pair.

9 = 3² est un nombre carré impair.

16 = 4² est un nombre carré pair.

25 = 5² est un nombre carré impair.

36 = 6² est un nombre carré pair.

49 = 7² est un nombre carré impair.

64 = 8² est un nombre carré pair.

81 = 9² est un nombre carré impair.

100 = 10² est un nombre carré pair.

Remarque : les nombres 0 et 1 sont également des nombres carrés.

Exercices sur les nombres carrés

Leçon 1 : Dans la série de nombres suivante, lequel est un nombre carré parfait : 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560.

Solution : Les nombres carrés parfaits sont 9 (3²), 81 (9²), 121 (11²), 441 (21²).

Leçon 2 :  Démontrer que le nombre 1234567890 n’est pas un nombre carré parfait.

Solution : Le nombre 1234567890 est divisible par 5 (car le dernier chiffre est 0) mais pas divisible par 25 (car les deux derniers chiffres sont 90). Par conséquent, le nombre 1234567890 n’est pas un nombre carré parfait.

Leçon 3 : Démontrer que le nombre B = 4n^4 + 4n³ + n² est un carré parfait pour tout entier positif n.

Solution:

B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²

Nous voyons que B peut être représenté comme le produit de deux carrés. Ou B = [n(2n+1)]², et n(2n + 1) est un entier. La conclusion est donc que B est un nombre carré parfait.

Leçon 4 : 

Trouvez un nombre naturel n tel que le nombre suivant soit un carré parfait : B = n² + 4n + 1.

Solution:

Puisque le nombre B est un carré parfait, on pose n² + 4n + 1 = b²

= 4n²+16n+4=4b²

= (4n²+16n+16)-16+4=4b²

= (2n+4)²- 4b² = 12

= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12

Notez que 2n+4+2b 2n+4-2b, et ce sont tous des entiers positifs. Nous pouvons donc trouver les paires de nombres correspondantes : (12, 1), (6, 2) et (4, 3). Vous devez considérer chaque cas pour trouver n et b. Spécifiquement:

• Cas 1 : (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4, b = 11/4
• Cas 2 : (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
• Cas 3 : (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4, b = 1/4

Mais n est un nombre naturel, donc seules les réponses n = 0, b = 1 sont satisfaisantes. Et n = 0, donc le nombre carré B = 1.

Nous espérons que l'article ci-dessus a fourni des informations utiles pour vous aider à savoir ce qu'est un nombre carré parfait, si 0 est un nombre carré parfait, ainsi que les propriétés et les caractéristiques des nombres carrés parfaits. À partir de là, vous aurez plus de connaissances pour résoudre les problèmes et les questions concernant les nombres carrés.

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