Formule de calcul du volume dun solide de révolution et exemples illustratifs

Qu'est-ce qu'un bloc rotatif ? Comment calculer le volume d'un solide de révolution ?

Un solide de révolution est une forme créée en faisant tourner un plan autour d'un axe fixe tel qu'un cône de révolution, un cylindre de révolution, une sphère de révolution, etc. Vous trouverez ci-dessous la formule de calcul du volume d'un solide de révolution, veuillez vous y référer.

Table des matières

• Calculer le volume d'un bloc circulaire tourné autour de l'axe Ox
• Calculer le volume d'un bloc circulaire tourné autour de l'axe Oy
• Exemple de calcul du volume d'un solide de révolution

Calculer le volume d'un bloc circulaire tourné autour de l'axe Ox

Si le bloc circulaire tourne autour de l'axe Ox, les formules suivantes peuvent être appliquées pour calculer le volume du bloc circulaire en rotation :

Cas 1 : Bloc circulaire rotatif créé par :

• Ligne y = f(x)
• axe des x y=0
• x=a; x=b

Ensuite, la formule pour calculer le volume est :

Cas 2 : Le bloc rotatif est créé par :

• Ligne y = f(x)
• Ligne y = g(x)
• x=a; x=b

Alors la formule pour calculer le volume d'un solide de révolution sera :

avec

Calculer le volume d'un bloc circulaire tourné autour de l'axe Oy

Si le bloc circulaire tourne autour de l'axe Oy, les formules suivantes peuvent être appliquées pour calculer le volume du bloc circulaire en rotation :

Cas 1 : Le bloc rotatif est créé par :

• Ligne x=g(y)
• Axe vertical (x=0)
• y=c; y=d

Alors la formule pour calculer le volume d'un solide de révolution sera :

Cas 2 : Le bloc rotatif est créé par

• Ligne x=f(y)
• L'équation x=g(y)
• y=c; y=d

Alors le volume du solide de révolution sera :

avec

Tableau récapitulatif des formules de calcul du volume d'un solide de révolution :

1. Vx généré par la zone S tournant autour de Ox :

Recette :

2. Vx généré par la zone S tournant autour de Ox :

Recette :

Exemple de calcul du volume d'un solide de révolution

Exemple 1 : 

Calculer le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner la figure plane limitée par la courbe y = sinx, l'axe des x et deux droites x=0, x=π (dessin) autour de l'axe Ox.

Solution

En appliquant la formule du théorème ci-dessus, nous avons

Exemple 2 : 

Calculer le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner la figure plane délimitée par la courbe et l'axe des x autour de l'axe des x.

Prix:

Nous voyons :

Pour tout x, il s'agit donc de l'équation d'un demi-cercle de centre O et de rayon R = A situé au-dessus de l'axe Ox. En tournant autour de l'axe Ox, la forme plate formera une sphère de centre O et de rayon R = A (figure). Donc nous avons toujours

 

Donc, avec ce type de problème, nous n'avons pas besoin d'écrire la formule d'intégration mais pouvons conclure en nous basant sur la formule de calcul du volume d'une sphère.

Exemple 3 : 

Calculer le volume de l'objet compris entre deux plans x = 0 et x = 1, sachant que la section transversale de l'objet coupée par le plan (P) perpendiculaire à l'axe Ox au point d'abscisse x(0≤x≤1) est un rectangle de deux côtés de longueurs x et ln(x2+1).

Prix: 

Étant donné que la section transversale est rectangulaire, l'aire de la section transversale est :

Nous avons le volume à calculer comme

Exemple 4 : Étant donnée une figure plane délimitée par des droites y = 3x ; y = x; x = 0; x = 1 tourne autour de l'axe Ox. Calculez le volume du solide de révolution résultant.

Prix:

Les coordonnées de l'intersection de la ligne x = 1 avec y = x et y = 3x sont les points C(1;1) et B(3;1). Les coordonnées de l'intersection de la ligne y = 3x avec y = x sont O(0;0).

Le volume du solide en rotation à calculer est donc :

Exemple 5 : Étant donnée une figure plane délimitée par des droites y = 2x2 ; y2 = 4x tourne autour de l'axe Ox. Calculez le volume du solide de révolution résultant.

Prix:

Avec un temps équivalent. Les coordonnées de l'intersection de la droite avec sont les points O(0;0) et A(1;2).

Le volume du solide en rotation à calculer est donc :

Pour les problèmes nécessitant de calculer le volume d'un solide de révolution, il suffit d'utiliser la formule adaptée à chaque cas et de faire attention lors de la détermination de la limite pour pouvoir le résoudre. Bonne chance!