Comment résoudre une équation quadratique

Résoudre des équations quadratiques

• A. Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?
• B. Résoudre des équations quadratiques
• C. Résoudre mentalement des équations quadratiques
• D. Utilisation de la formule Viet-et
  • Théorème de Viète
  • Théorème réciproque de Viet-et
• E. Exemple de résolution d'une équation quadratique
• F. Factorisation
• G. Résolution d'équations quadratiques contenant des paramètres

A. Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

Une équation quadratique est une équation de la forme (a≠0) (1).

Avec x comme variable inconnue et comme il n'y a qu'une seule inconnue, on l'appelle également équation à « variable unique ». Les nombres a, b et c sont des nombres connus, appelés coefficients de l'équation ; peuvent être distingués en les appelant respectivement : coefficient quadratique, coefficient du premier ordre et coefficient libre ou constant.

Une équation quadratique est un type d'équation polynomiale, elle ne contient que des puissances de x qui sont des nombres naturels.

Résoudre une équation quadratique consiste à trouver les valeurs de x de telle sorte que lorsque x est substitué dans l'équation (1), ax2+bx+c=0 soit satisfait. Il existe quatre manières courantes de résoudre les équations quadratiques : la factorisation ; méthode de la racine carrée; utiliser la formule racine ; graphique.

B. Résoudre des équations quadratiques

Étape 1 : Calculer Δ=b2-4ac

Étape 2 : comparer Δ avec 0

• Δ < 0=""> L'équation (1) n'a pas de solution
• Δ = 0 => l'équation (1) a une solution double
• Δ > 0 => l'équation (1) a 2 solutions distinctes, nous utilisons la formule de solution suivante :

et

C. Résoudre mentalement des équations quadratiques

• Si l'équation a a + b + c = 0 alors l'équation a une solution.
• Si l'équation a a - b + c = 0 alors l'équation a pour solution :

D. Utilisation de la formule Viet-et

Théorème de Viète

Si est la solution de l'équation alors

Théorème réciproque de Viet-et

Si deux nombres existent, alors ils sont solutions à l'équation , (existe lorsque)

E. Exemple de résolution d'une équation quadratique

Exemple 1 : Résolvez l’équation quadratique suivante : x2 - 49x - 50 = 0

Guide de solutions

Méthode 1 : Utiliser la formule de la racine (a = 1 ; b = -49 ; c = -50)

Parce que ∆ > 0, l’équation a deux solutions distinctes.

Méthode 2 : Calcul mental

Parce que a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

L'équation a donc deux solutions.

Méthode 3 :

D'après le théorème de Viet, nous avons :

L'équation a donc deux solutions :

Exemple 2 : Résoudre l'équation 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => l'équation donnée (2) a 2 solutions distinctes.

et

Vous pouvez également calculer la solution rapidement en calculant mentalement, car vous voyez que 4-(-2)+6=0, donc x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. La solution est la même que ci-dessus.

Exemple 3 : Résoudre l'équation 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Calculer Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) a 2 solutions distinctes :

et

Vérifier si vous avez calculé correctement la solution est très simple, remplacez simplement x1, x2 dans l'équation 3 à tour de rôle, si le résultat est 0, alors c'est correct. Par exemple, remplacez x1, 2,32-7,3+3=0.

Exemple 4 : Résolvez l'équation 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Calculez Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> l'équation (4) n'a pas de solution.

Exemple 5 : Résoudre l’équation x2 – 4x +4 = 0 (5)

Calculer Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => l'équation (5) a une double solution :

En fait, si vous êtes vif d'esprit, vous pouvez également voir qu'il s'agit de l'identité mémorable (ab)2 = a2 - 2ab + b2, il est donc facile de réécrire (5) comme (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Factorisation des polynômes

Si l'équation (1) a deux solutions distinctes x1, x2, vous pouvez toujours l'écrire sous la forme suivante : ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

En revenant à l'équation (2), après avoir trouvé 2 solutions x1, x2, vous pouvez l'écrire sous la forme : 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Résolution d'équations quadratiques contenant des paramètres

1. Équation avec solution

2. Équation sans solution

3. L'équation a une solution unique (solution double ou deux solutions égales)

4. L'équation a deux solutions distinctes (différentes).

5. L'équation a deux solutions avec le même signe.

6. L’équation a deux solutions de signes opposés.

7. L'équation a deux racines positives (deux racines supérieures à 0)

8. L'équation a deux racines négatives (deux racines inférieures à 0)

9. L’équation a deux solutions opposées.

10. Deux solutions inverses

Choses à retenir :

Outre l'équation quadratique, il existe également le théorème de Viet avec de nombreuses applications telles que le calcul mental des racines de l'équation quadratique mentionnée ci-dessus, la recherche de 2 nombres en connaissant la somme et le produit, la détermination des signes des racines ou la factorisation. Il s'agit de toutes les connaissances nécessaires qui vous seront associées dans le processus d'apprentissage de l'algèbre, ou dans les exercices de résolution et de discussion d'équations quadratiques plus tard, vous devez donc vous en souvenir soigneusement et les pratiquer couramment.

Si vous avez l'intention d' étudier la programmation , vous devez également avoir des connaissances mathématiques de base, voire des connaissances mathématiques avancées, en fonction du projet que vous réaliserez.