Quest-ce quune fonction paire ? Quest-ce quune fonction impaire ?

Qu'est-ce qu'une fonction paire ? Non seulement les fonctions paires , mais aussi les fonctions impaires présentent un grand intérêt. Apprenons ensemble ces deux concepts !

Les fonctions en mathématiques peuvent être classées en fonctions paires et impaires en fonction de leur symétrie le long de l'axe. Une fonction paire est une fonction qui reste constante lorsque son entrée est annulée (la sortie est la même pour x et -x), reflétant la symétrie autour de l'axe des y. En revanche, une fonction impaire devient négative lorsque son entrée est niée, présentant une symétrie autour de l'origine. Une fonction f est paire si f(-x) = f(x), pour tout x dans le domaine de f. Une fonction f est une fonction impaire si f(-x) = -f(x) pour tout x dans le domaine de définition de f, c'est-à-dire :

• Fonction paire :f(-x) = f(x)
• Fonction impaire :f(-x) = -f(x)

Dans cet article, nous discuterons en détail des fonctions paires et impaires, de la définition des fonctions paires et impaires, des fonctions paires et impaires en trigonométrie, du graphique des fonctions paires et impaires et de nombreux autres contenus et informations que vous devez connaître.

Table des matières

• Qu'est-ce qu'une fonction paire ?
• Qu'est-ce qu'une fonction impaire ?
• Graphique des fonctions paires et impaires
• Quelle est une fonction qui n’est ni paire ni impaire ?
• Rappelez-vous une fonction impaire-paire courante
• Comment déterminer les fonctions paires et impaires
• Exercices sur l'examen de la parité des fonctions

Qu'est-ce qu'une fonction paire ?

La fonction y = f (x) de domaine D est dite fonction paire si elle satisfait les deux conditions suivantes :

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Par exemple : la fonction y = x² est une fonction paire.

Qu'est-ce qu'une fonction impaire ?

La fonction y = f ( x ) de domaine D est dite fonction impaire si elle satisfait les deux conditions suivantes :

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

Exemple : Exemple : La fonction y = x est une fonction impaire.

Attention. La première condition est appelée condition symétrique du domaine autour de 0.

Par exemple, D = (-2;2) est un ensemble symétrique par rapport à 0, tandis que l'ensemble D' = [-2;3] n'est pas symétrique par rapport à 0.

L'ensemble R = (−∞;+∞) est un ensemble symétrique.

Remarque : une fonction n’a pas besoin d’être paire ou impaire.

Par exemple : La fonction y = 2x + 1 n'est ni une fonction paire ni une fonction impaire car :

En x = 1, nous avons f(1) = 2,1 + 1 = 3

À x = -1 nous avons f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ Les deux valeurs f(1) et f(-1) ne sont ni égales ni opposées.

Graphique des fonctions paires et impaires

Même les fonctions ont des graphiques qui prennent l’axe des y comme axe de symétrie.

La fonction impaire a un graphique avec l'origine O comme centre de symétrie.

Quelle est une fonction qui n’est ni paire ni impaire ?

Toutes les fonctions ne peuvent pas être définies comme paires ou impaires. Certaines fonctions ne sont ni paires ni impaires, telles que : y=x²+x, y=tan(x-1),…

De plus, il existe un type spécial de fonction qui est à la fois paire et impaire. Par exemple, la fonction y=0

Rappelez-vous une fonction impaire-paire courante

Fonction uniforme

y = ax2 + bx + c si et seulement si b = 0

Fonction quadratique

y = cosx

y = f(x)

Fonction impaire

y = ax + b si et seulement si b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d si et seulement si b = d = 0

y = sinx; y = tanx; y = cotx

Quelques autres cas

F(x) est une fonction paire et possède une dérivée sur son domaine, alors sa dérivée est une fonction impaire.

F(x) est une fonction impaire et possède une dérivée sur son domaine, alors sa dérivée est une fonction paire.

Une fonction polynomiale de degré impair n’est pas une fonction paire.

Les fonctions polynomiales de degré pair ne sont pas des fonctions impaires.

Comment déterminer les fonctions paires et impaires

Pour déterminer la fonction impaire-paire, nous effectuons les étapes suivantes :

Étape 1 : Trouver le domaine : D

Si ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Passez à l'étape trois

Si ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D, alors la fonction n'est ni paire ni impaire.

Étape 2 : Remplacez x par -x et calculez f(-x)

Étape 3 : Examinez le signe (comparez f(x) et f(-x)) :

° Si f(-x) = f(x) alors la fonction f est paire

° Si f(-x) = -f(x) alors la fonction f est impaire

° Autres cas : la fonction f n'a pas de parité

Exercices sur l'examen de la parité des fonctions

Leçon 4 page 39 Manuel d'algèbre 10 : Considérez les propriétés impaires-pairs des fonctions suivantes :

a) y = |x|;

b) y = (x + 2)2;

c) y = x3 + x;

d) y = x2 + x + 1.

Prix

a) Soit y = f(x) = |x|.

° TXĐ : D = R donc pour ∀x ∈ D alors –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).

→ Donc la fonction y = |x| est une fonction paire.

b) Soit y = f(x) = (x + 2)2.

° TXĐ : D = R donc pour ∀x ∈ D alors –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).

→ Donc la fonction y = (x + 2)2 n'est ni paire ni impaire.

c) Soit y = f(x) = x3 + x.

° TXĐ : D = R donc pour ∀x ∈ D alors –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ Donc y = x3 + x est une fonction impaire.

d) Soit y = f(x) = x2 + x + 1.

° TXĐ : D = R donc pour ∀x ∈ D alors –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ Donc la fonction y = x2 + x + 1 n'est ni paire ni impaire.

Existe-t-il une fonction définie sur R qui est à la fois une fonction paire et une fonction impaire ?...

Prix:

Il est facile de voir que la fonction y = 0 est une fonction définie sur R, à la fois une fonction paire et une fonction impaire.

Supposons que la fonction y = f (x) soit une fonction quelconque avec de telles propriétés. Alors pour chaque x dans R nous avons :

F (–x) = f (x) (parce que f est une fonction paire) ;

F (–x) = – f (x) (car f est une fonction impaire).

De cela, nous pouvons déduire que pour tout x dans R, f(x)=−f(x), ce qui signifie f(x)=0. Donc y=0 est la seule fonction définie sur R, qui est à la fois une fonction paire et impaire.

Questions fréquemment posées sur les fonctions paires et impaires

Que sont les fonctions paires et impaires ?

Si f(x) = f(−x) pour tous les x dans leurs domaines, alors les fonctions paires sont symétriques par rapport à l'axe des y. Les fonctions impaires sont symétriques par rapport à l'origine, ce qui signifie que pour tout x dans leur domaine, f(−x) = −f(x).

Comment savoir si une fonction est paire ou impaire ?

Une fonction est paire si f(-x) = f(x), et est impaire si f(-x) = -f(x) pour tous les éléments du domaine de f. S'il ne satisfait aucune de ces propriétés, alors il n'est ni impair ni pair.

Quelle est la différence entre les fonctions périodiques paires et impaires ?

Différence entre les fonctions périodiques paires et impaires : une fonction paire satisfait f(−x) = f(x) pour tout x dans le domaine, tandis qu'une fonction impaire satisfait f(−x) = −f(x).

En plus des fonctions paires et impaires, vous pouvez apprendre d'autres connaissances mathématiques importantes telles que les nombres carrés , les nombres irrationnels, les nombres rationnels , les nombres premiers , les nombres naturels ... dans la section Éducation de Quantrimang.com.